Мозаїки Пенроуза - досить відомий об'єкт (Penrose tiling). Я колись означив групу пов'язану із ними. А саме, якщо взяти варіант мозаїки із трикутниками, то можна означити три команди (L, S, M) переходу з одного трикутника мозаїки до сусіднього трикутника. Тоді будь-яка послідовність команд, наприклад LSMLSMSL є інструкцією переходу із одного трикутника в якийсь інший. Ці інструкції можна "множити" просто дописуючи одну до іншої. Вони утворюють те, що в математиці називається групою. Дві інструкції вважаються однаковими, якщо результат їхньої дії на всі трикутники однаковий.
Але про цю групу я нічого не знаю, вона залишається загадковою. Недавно я її модифікував, змінивши значення інструкцій так, що іноді команди L, S, M означають "стій на місці" згідно простого і регулярного правила. Про відповідну нову групу я вже можу дещо сказати (що вона "аменабельна").
Так от, на малюнку показано дію модифікованих команд. Якщо якась команда визначає перехід із одного трикутника в інший, то центри цих трикутників з'єднані відрізком. Це лише частина картинки, бо справжня картинка нескінченна.
почитала із задоволенням, хоч і не все до кінця зрозуміла, особливо коли формули почалися, то навіть не намагалася вникати - надто далеко за 17 років відійшла від формул :) але зато від картинок отримала масу задоволення...
це не зовсім те саме, але останні кілька років якраз час від часу "медитувала" над магією чисел в просторі коли писанки малювала, особливо справжні безконечники, бо тоді штука і "магія" в тому, що для того щоб повністю покрити сферичну поверхню безконечником, обов'язково з'являться певні числа і кількості (кутів, сорін, ліній, перетинів, сегментів), і таким чином в просторі взаємодіють, на приклад, трійки з четвірками певним необхідним чином...
з п'ятірками в писанках поки що не стикалася - хіба що з шістками і вісімками, але вони ж насправді ті самі трійки і четвірки. але зато пам'ятаю, як в якомусь мабуть десятому класі зробила картонну модель додекаедра на подарунок улюбленому директорові (він нас вчив математику), а ні, брешу, я робила ікосаедра - тобто все-таки трикутники...
значить тема п'ятикутників в мене не розкрита :) ну але я дивлюся на ту статтю в вікіпедії, і так виглядає, що теоретично можна її пробувати розкривати, бо ж додекаедр, то якраз сфера і є - треба тільки мабуть страусяче яйце, бо воно, кажуть, кругліше, - на курячому криві п'ятикутники мабуть виглядатимуть кепсько...
Весь пафос мозаїк Пенроуза в тому, що площину і простір не можна замостити періодично мозаїками із п'ятикутною симетрією. Сфера - зовсім інша історія, як показує приклад додекаедра (і, насправді, спорідненого з ним ікосаедра). У зв'язку із цим мозаїки Пенроуза не періодичні, а квазіперіодичні: кожна частина зустрічається нескінченно часто, але всю мозаїку не можна пересунути так, щоб вона сама із собою співпала.
Так, я це приблизно розумію, мені власне цікаво було, що покриття сферичної поверхні має інші числові "закони" ніж покриття рівної, це для не-математика цілком counter-intuitive відкриття... Я мало не впала, коли виявилося, що для того, щоб покрити певним безконечником яйце знадобилося три лінії, бо, грунтуючи своє сприйняття на моделі плоскої поверхні, мені здавалося, що достатньо буде двох... Про додекаедр з ікосаедром - там такий зворотній зв'язок, що в один кут в одному сходяться три п'ятикутники, а в іншому - п'ять трикутників, правильно?
Так, крім того центри граней одного є вершинами іншого. Так само куб спарений із октаедром, а тетраедр із самим собою.
Греки були дуже вражені правильними многогранниками, і вважали, що вони відповідають елементам: тетраедр - вогонь, куб - земля, далі я не пам'ятаю. Один із них був "п'ятим елементом". Кеплер у своїй першій роботі про сонячну систему вважав, що вона теж основана на правильних многогранниках. Він вписував їх по-черзі у сфери, а потім, здається описував навколо сфер, і таким чином описував радіуси орбіт Сонячної системи. Але потім він помітив, що ця теорія суперечить практиці, і відкрив справжні закони Кеплера.
зараз я таке спитаю, що зразу стане ясно, наскільки мало я зрозуміла :) то ті мозаїки - вони мають якийсь центр (звідки починаються), чи центри (?) навколо яких утворюється решта, чи ні?
У мозаїк Пенроуза ніякого спеціального центру немає. Звичайно, якщо ми хочемо намалювати малюнок, то він буде скінченним, і десь з чогось ми повинні почати.
Є, правда, дві чи три (серед нескінченного числа інших) у яких центр є. Вони мають стільки ж симетрій скільки симетрій має правильний п'ятикутник.
Залежить від того, що називати класифікацією. Детальна класифікація мабуть не має сенсу, або не є математичною задачею, бо забагато параметрів, і це буде більше схоже на каталогізацію, а не класифікацію.
Існує класифікація всіх можливих груп симетрій візерунків. Але я не впевнений, чи в даному випадку це дає щось цікаве.
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png)
timeasmymeasure
no subject
Date: 2013-04-06 02:33 pm (UTC)no subject
Date: 2013-04-06 02:49 pm (UTC)Але про цю групу я нічого не знаю, вона залишається загадковою. Недавно я її модифікував, змінивши значення інструкцій так, що іноді команди L, S, M означають "стій на місці" згідно простого і регулярного правила. Про відповідну нову групу я вже можу дещо сказати (що вона "аменабельна").
Так от, на малюнку показано дію модифікованих команд. Якщо якась команда визначає перехід із одного трикутника в інший, то центри цих трикутників з'єднані відрізком. Це лише частина картинки, бо справжня картинка нескінченна.
no subject
Date: 2013-04-09 02:38 am (UTC)це не зовсім те саме, але останні кілька років якраз час від часу "медитувала" над магією чисел в просторі коли писанки малювала, особливо справжні безконечники, бо тоді штука і "магія" в тому, що для того щоб повністю покрити сферичну поверхню безконечником, обов'язково з'являться певні числа і кількості (кутів, сорін, ліній, перетинів, сегментів), і таким чином в просторі взаємодіють, на приклад, трійки з четвірками певним необхідним чином...
з п'ятірками в писанках поки що не стикалася - хіба що з шістками і вісімками, але вони ж насправді ті самі трійки і четвірки. але зато пам'ятаю, як в якомусь мабуть десятому класі зробила картонну модель додекаедра на подарунок улюбленому директорові (він нас вчив математику), а ні, брешу, я робила ікосаедра - тобто все-таки трикутники...
значить тема п'ятикутників в мене не розкрита :) ну але я дивлюся на ту статтю в вікіпедії, і так виглядає, що теоретично можна її пробувати розкривати, бо ж додекаедр, то якраз сфера і є - треба тільки мабуть страусяче яйце, бо воно, кажуть, кругліше, - на курячому криві п'ятикутники мабуть виглядатимуть кепсько...
no subject
Date: 2013-04-09 03:24 am (UTC)no subject
Date: 2013-04-09 04:16 am (UTC)Про додекаедр з ікосаедром - там такий зворотній зв'язок, що в один кут в одному сходяться три п'ятикутники, а в іншому - п'ять трикутників, правильно?
no subject
Date: 2013-04-09 05:09 am (UTC)Греки були дуже вражені правильними многогранниками, і вважали, що вони відповідають елементам: тетраедр - вогонь, куб - земля, далі я не пам'ятаю. Один із них був "п'ятим елементом". Кеплер у своїй першій роботі про сонячну систему вважав, що вона теж основана на правильних многогранниках. Він вписував їх по-черзі у сфери, а потім, здається описував навколо сфер, і таким чином описував радіуси орбіт Сонячної системи. Але потім він помітив, що ця теорія суперечить практиці, і відкрив справжні закони Кеплера.
no subject
Date: 2013-04-10 01:30 am (UTC)думаю, якби зараз був піфагор, я б за ним ходила по п'ятах :)
no subject
Date: 2013-04-10 01:33 am (UTC)то ті мозаїки - вони мають якийсь центр (звідки починаються), чи центри (?) навколо яких утворюється решта, чи ні?
no subject
Date: 2013-04-10 04:44 am (UTC)Є, правда, дві чи три (серед нескінченного числа інших) у яких центр є. Вони мають стільки ж симетрій скільки симетрій має правильний п'ятикутник.
no subject
Date: 2013-04-06 11:11 pm (UTC)але візуально - я б таке годинами розглядала :)
no subject
Date: 2013-04-17 01:34 pm (UTC)no subject
Date: 2013-04-17 04:14 pm (UTC)Існує класифікація всіх можливих груп симетрій візерунків. Але я не впевнений, чи в даному випадку це дає щось цікаве.